Keplers 3. Gesetz

Entfernungen in der Umlaufbahn

Im Gegensatz zum Kreis reicht es nicht aus, einen beliebigen Durchmesser zu zeichnen, um eine Ellipse zu messen. Stattdessen verwenden wir zwei wichtige Linien, die Achsen genannt werden, welche die kleinsten und größten möglichen Durchmesser sind (kleine und große Achse).

Die wichtigste Messung einer Ellipse ist sicherlich die große Halbachse, dargestellt mit dem Symbol a, welche die Entfernung vom Zentrum zum Rand entlang der großen Achse misst. Der Name deutet auch darauf hin, dass ihre Länge genau die Hälfte der großen Achse beträgt.

1. Verwende im obigen Bild ein Lineal, um zu überprüfen, ob die längste Entfernung vom Zentrum tatsächlich a ist.
2. Denke an unterschiedlich geformte Umlaufbahnen. Steht die Umlaufperiode in Beziehung zu irgendeiner anderen Eigenschaft? Liste die Bahnelemente auf, von denen du denkst, dass sie die Periode beeinflussen.

Vollbild

Daten sammeln und interpretieren – Messung von Perioden

Jetzt werden wir analysieren, wie die Periode einer planetaren Umlaufbahn definiert wird und verschiedene Möglichkeiten, sie innerhalb der Simulation zu messen.

1. Basierend auf dem Verhalten des Periodenwerkzeugs, wie würden Sie die Periode einer Umlaufbahn definieren?
2. Nehmen Sie mehrere Periodenmessungen derselben Umlaufbahn vor. Verändert der Startpunkt die Messung? Erklären Sie.
3. Miss die Periode einer kreisförmigen Umlaufbahn und vergleiche sie mit der Periode von stärker elliptischen Umlaufbahnen, aber mit derselben großen Halbachse:

Typ	Periode, T (Jahre)	Große Halbachse, a (AE)
Kreisförmig
Leicht elliptisch
Stark elliptisch

4. Vergleiche die Ergebnisse mit einem Partner. Was ist eure Schlussfolgerung? Beeinflusst die Exzentrizität die Periode einer Umlaufbahn?
5. Lass uns nun Periodenmessungen für verschiedene Umlaufbahnen im Sonnensystem vornehmen. Berechne dann das Verhältnis von T/a. Verwende dafür das ‚Zielorbit‘-Panel, um reale Umlaufbahnen nachzubilden:

Periode, T (Jahre)	Große Halbachse, a (AE)	T/a (AE/Jahre)
Merkur
Erde
Mars

6. Erkenne Muster der Periode im Vergleich zur großen Halbachse?
1. Verändert sich das Verhältnis T/a? Wie stark?
2. Für welche Planeten ist es größer?
3. Zeichnen Sie die Form des Graphen:
7. Finde die Kombination von Exponenten, für die das Verhältnis T/a für alle Umlaufbahnen konstant bleibt. Fügen Sie einen Screenshot oder eine Zeichnung des Graphen bei. Welche Form hat der Graph jetzt? Schau dir dazu auch die Simulation bei Leifi an.
Leifi

8. Verwende die untere Gleichung, um herauszufinden, was die große Halbachse des Halleyschen Kometen ist, wenn bekannt ist, dass seine Periode 76 Jahre beträgt.

• Berechnen wir den notwendigen Bruch, um die Gleichung zu vereinfachen.↑↓
• Das Ergebnis des Bruchs setzen wir in die vereinfachte Gleichung ein.↑↓
• Wir verwenden eine Gleichung, die diese Beziehung zwischen zwei Himmelskörpern beschreibt.↑↓
• Für die Erde nehmen wir eine Umlaufzeit von einem Jahr und eine große Halbachse von einer Astronomischen Einheit an.↑↓
• Die große Halbachse des Halley’schen Kometen beträgt ungefähr 18.95 Astronomische Einheiten.↑↓
• Zunächst formulieren wir das dritte Keplersche Gesetz, welches eine Beziehung zwischen der Umlaufzeit eines Himmelskörpers und der großen Halbachse seiner Bahn herstellt.↑↓
• Für den Halley’schen Kometen kennen wir die Umlaufzeit von 76 Jahren und wollen die große Halbachse berechnen.↑↓
• Setzen wir die bekannten Werte in die Gleichung ein, um die Unbekannte zu finden.↑↓
• Um die gesuchte Größe zu finden, nehmen wir den Kehrwert des Ergebnisses.↑↓
• Berechnen wir die entsprechende Wurzel, um zur gesuchten Größe zu gelangen.↑↓
• Das Ergebnis gibt uns die große Halbachse des Halley’schen Kometen in Astronomischen Einheiten.↑↓
9. Angenommen, die NASA hat gerade einen Asteroiden entdeckt, der die Sonne mit einer großen Halbachse von 3 AE umkreist. Kannst du mit Keplers drittem Gesetz seine Periode in Jahren berechnen?

Sprinteraufgabe: Veränderung der Sternmasse

1. Beschreibe, was mit dem Verhältnis T/a passiert, wenn sich die Masse des Sterns ändert.
2. Kannst du die neue Gleichung für Keplers drittes Gesetz für ein Sternsystem finden, bei dem die Masse des Sterns doppelt so groß ist wie die der Sonne?